Las Matematicas

El Plano Cortesiano

colegiorioloa @ 20:31

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano este esta compuesto por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente.
El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.
Las cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

Para el problema planteado ,el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

LA LINEA RECTA
Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos.
Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante.

PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.

Pendiente de una recta

Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.

El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:

a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente:
Teorema

Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

m= y1 – y2
x1 –x2

Siendo x1¹ x2
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).

Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° .
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,-5) y B(2,1).

Solucion
Al graficar los puntos dados, tenemos:

Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
Como la m es negativa, el ángulo q es mayor de 90° pero menor de 180°, por lo que el ángulo encontrado deberá restarse a 180°,es decir: q=180° –30°57’49’’=149° 2’ 11’’

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
1.Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas, l1 y l2, son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la condición de paralelismo establece que m1 = m2.

Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones q1 y q2 son iguales, es decir, q1 = q2 y l en consecuencia tg q1 = tg q2, por lo tanto m1 = m2.
2.Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

Sean l1 y l2 dos recta perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90° ; es decir, en cualquiera de los casos q1=q2+90° o q2=q1+90°; por lo tanto:
tenemos que: m1= 1/ m2
O también: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es igual -1 m1m2=-1
3.Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente, es decir la pendiente de una recta paralela al eje y no existe.

Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes x y y , que son, por supuesto, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje x es cero, puesto que tg 0°=tg 180°=0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje y es indefinida, puesto que tg de 90°= ¥.
DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA RECTA
Ecuación punto-pendiente de una recta.
Analíticamente la ecuación de la recta se determina cuando se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente.
Teorema
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m, es:
y-y1=m(x-x1)
DEMOSTRACION:
Sean P(x,y) y P1(x1,y1) un punto cualquiera y un punto dado, respectivamente, de una recta.
Gráficamente, se tiene:

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