El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
Multiplicación De Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:
P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)
P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)
P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44
P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que
P(x)•[Q(x) + R(x)] = P(x) • Q(x) + P(x) • R(x)
3. Multiplicación de polinomios.
Se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, colocando los términos semejantes (monomios del mismo grado) en columna. Se suman los productos obtenidos.
Ejemplo:
P(x) = –4x3 + 5x2 + x – 1
Q(x) = 3x2 – x + 6
Se colocan los polinomios uno debajo de otro y se comienza multiplicando el primer monomio de Q(x) (en rojo), por todos los monomios de P(x) (en rojo), obteniendo la primera fila de monomios para sumar (en rojo, debajo de la raya). Luego se multiplica el segundo monomio de Q(x) (en azul) por todos los de P(x) (en rojo), que da la segunda fila (en azul); el siguiente monomio multiplicador (verde) se vuelve a multiplicar por el polinomio multiplicando (rojo). Se colocan los monomios semejantes que se van obteniendo en columna, por grados. Se dejan huecos si faltan monomios de algún grado.
Teorema del binomio
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de : Por multiplicación directa podemos obtener
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con y termina con . En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de .
A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.
EJEMPLO:
Desarrollar por el teorema del binomio:
SOLUCIÓN:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
efectuando las potencias, se tiene:
efectuando los productos:
EJEMPLO:
Desarrollar por el teorema del binomio:
SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:
efectuando las potencias:
efectuando los productos:
MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.
La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.
Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.
Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:
a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.
b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.
c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.
d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.
Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:
+ × + = +
+ × - = -
- × + = -
- × - = +
En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
a) Multiplicación de monomios.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio
c) Multiplicación de polinomios
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar
Solución:
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.
MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar: por
SOLUCIÓN:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.
EJEMPLO:
Multiplicar: jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkjhgggggggggggggggggggg
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
1)
a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x2
b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y2
Entonces ( 4x + 9y ) ( 4x - 9y ) = 16x2 - 81y2
2)
a) El cuadrado del 1er término es (10x)(10x) = 100x2
b) El cuadrado del 2do término es (12y3)(12y3) = 144y6
Entonces ( 10x + 12y3 ) ( 10x - 12y3 ) = 100x2 - 144y6
Expresiones notables 5.3
Importancia de estas expresiones
Si observamos las fórmulas del cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia de izquierda a derecha , para desarrollarlas lo que se hace es multiplicar por sí mismo el factor (a+b) o el (a-b). Es una multiplicación de polinomios, pero como estos productos nos dan siempre el mismo resultado en lugar de multiplicar podemos aplicar la definición para cada caso y el resultado es el mismo.
También nos pueden dar las expresiones desarrolladas y nosotros debemos saber qué expresión es. Esto sería leer las fórmulas de derecha a izquierda y se llama factorizar.
La expresión suma por diferencia leída de izquierda a derecha es pasar de la forma factorizada al binomio sin factorizar.
Necesitamos conocer bien ésto ya que en cursos posteriores aparecerá mucho.
Resuelve estos ejercicios:
Operaciones con polinomios
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Dados los polinomios P(x), Q(x), R(x), etc, de la forma general:
o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:
podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.
Podemos ver las siguientes operaciones con polinomios:
Contenido
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• 1 Valor numérico de un polinomio
• 2 Igualdad de polinomios
• 3 Polinomio opuesto
• 4 Adición de polinomios
• 5 Multiplicación de polinomios
o 5.1 Multiplicación de un polinomio por un escalar
o 5.2 Multiplicación de un polinomio por un monomio
o 5.3 Multiplicación de dos polinomios
• 6 División de polinomios
• 7 Divisiones Sinteticas
• 8 Factorización de un polinomio
• 9 Véase también
• 10 Enlaces externos
Valor numérico de un polinomio [editar]
Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b.
En el caso general:
tomara un valor para x = b, de:
Ejemplo: Dado el polinomio:
cual es su valor para x= 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:
Con el resultado de:
Igualdad de polinomios [editar]
Dados dos polinomios:
de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:
Ejemplo:
en este caso:
Polinomio opuesto [editar]
Dados dos polinomios:
de grado n, se dice que son opuestos y se representa:
si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:
Ejemplo:
los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 21:03
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Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de Productos Notables.
Son aquellos resultados de la multlipicación que tienen características especiales, como veremos a continuación:
PRODUCTOS NOTABLES:
a) Cuadrado de un Binomio.
b) Productos de Binomios que tiene un término común.
c) Suma por su diferencia de dos cantidades.
d)Cubo de un Binomio.
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
El binomio es x + y.
El resultado consta de tres términos : El primero es el cuadrado de x (primera cantidad) y el último es el cuadrado de y (segunda cantidad).
El término del centro es el doble de x por y.
Todos los signos son + (positivos).
El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.
1)
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 20:58
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EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano este esta compuesto por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente.
El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.
Las cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado ,el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
LA LINEA RECTA
Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos.
Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante.
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.
Pendiente de una recta
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.
El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:
a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente:
Teorema
Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:
m= y1 – y2
x1 –x2
Siendo x1¹ x2
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° .
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,-5) y B(2,1).
Solucion
Al graficar los puntos dados, tenemos:
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
Como la m es negativa, el ángulo q es mayor de 90° pero menor de 180°, por lo que el ángulo encontrado deberá restarse a 180°,es decir: q=180° –30°57’49’’=149° 2’ 11’’
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
1.Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas, l1 y l2, son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la condición de paralelismo establece que m1 = m2.
Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones q1 y q2 son iguales, es decir, q1 = q2 y l en consecuencia tg q1 = tg q2, por lo tanto m1 = m2.
2.Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.
Sean l1 y l2 dos recta perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90° ; es decir, en cualquiera de los casos q1=q2+90° o q2=q1+90°; por lo tanto:
tenemos que: m1= 1/ m2
O también: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es igual -1 m1m2=-1
3.Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente, es decir la pendiente de una recta paralela al eje y no existe.
Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes x y y , que son, por supuesto, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje x es cero, puesto que tg 0°=tg 180°=0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje y es indefinida, puesto que tg de 90°= ¥.
DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA RECTA
Ecuación punto-pendiente de una recta.
Analíticamente la ecuación de la recta se determina cuando se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente.
Teorema
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m, es:
y-y1=m(x-x1)
DEMOSTRACION:
Sean P(x,y) y P1(x1,y1) un punto cualquiera y un punto dado, respectivamente, de una recta.
Gráficamente, se tiene:
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 20:31
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Definición y ejemplos de polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.
Ejemplo 8.- Son polinomios las expresiones siguientes:
a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)
Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 son dos binomios
Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.
Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.
Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.
En el caso b) el grado es 4.
Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b).
" Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra se le suele llamar variable.
La siguiente escena sirve para comprobar estos conceptos en un polinomio con una sola letra.
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 20:28
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Definición
Es así que las expresiones
son polinomios.
Los números reales an, an-1, a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio y , en especial, al coeficiente a0, también se lo
llama término independiente.
________________________________________
Polinomio cero o nulo
Si los coeficientes de P(x) cumplen con
el polinomio resultante es P(x) = 0 y se lo llama polinomio cero o nulo.
________________________________________
Polinomio constante
Si los coeficientes de P(x) cumplen con
el polinomio resultante es P(x) = a0 y se lo llama polinomio constante.
________________________________________
Grado de un polinomio
Dado el polinomio P(x) = an x n + an-1x n-1 + . . . + a2 x 2 + a1 x + a0 y siendo se dice que el grado de P(x) es n
gr P(x) = n
Se debe tener en cuenta que:
si P(x) = a0, su gr P(x) = 0
si P(x) = 0, no tiene grado
Ejemplo:
El polinomio A(x) = 3 x2 + 6 x - 8 tiene como gr A(x) = 2
________________________________________
Monomio
Es aquel polinomio que tiene un solo coeficiente distinto de cero.
Ejemplo:
H(x) = - 10 x 4 es un monomio pues tiene un solo coeficiente no nulo ( - 10 ). También se puede decir que H(x) es un polinomio de un solo término.
Al polinomio que está formado por dos términos no nulos se lo llama binomio.
M(x) = 100 - 200 x 3 es un binomio, pues sus dos términos tienen coeficientes no nulos ( 100, - 200 ).
Al polinomio que está formado por tres términos no nulos se lo llama trinomio.
N(x) = 1 - x 2 - x 6 es un trinomio, pues sus tres términos tienen coeficientes no nulos ( 1, -1, -1 ).
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 20:15
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colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 20:08
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Ejercicios de binomios:· Introducción:
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables, y operaciones de sumas división etc. Ejemplo:· Raíz cuadrada de 2x - 6 / x 4x - 7x + 2
Términos: Son las partes de las cuales consta una expresión algebraica y están separados por signos + y – Ejemplo:· 4 términos 2x – 6 x + 7x – 1 =· Términos semejantes: Son los que tiene el mismo coeficiente numérico ej.· Nota: el signo > significa elevado a la potencia· 6 x>5 75 x>5· SUMA Y PRODUCTO DE EXPRESIONS ALGEBRAICAS· Debemos saber que la suma solo se puede dar entre términos semejantes ,es decir , las x solo se suman con las x y las x al cuadrado con las x al cuadrado Ejemplo:· 4x + 2x >2 + 5x – x>2 = 0· x>2 + 9x = 0· Ejercicios: · A) 9x2 + 6x – 3 = 3 (3x2 + 2x – 1) · B) 2x3 – 6x2 + 4x = 2x(x2 – 3x + 2) · C) 10x3 – 5x2 = 5x2(2x – 1) · D) x4 – x3 + x2 – x = x(x3 – x2 + x – 1) · e) (2a + x ) ( 2a - x) · f) (3x +5) (3x – 2)= 9x2 + 9x – 10 · g) ( 3x +5) (3x – 2)= 9x2 + 9x – 10 · h) (y) (z) = yz · i) (8x – 5) (8x –3) · j) (5 y2 – 3x) (5y2 + 2x)
colegiorioloa — 02-10-2008 GTM 1 @ 19:58
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POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI
En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)
Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.
Ejemplo: x4+6x3+x2-24x+16
El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16
16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión
Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16.
Probamos con 2: Si x4+6x3+x2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:
1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso
|
1 6 1 -24 16 2
2 16 34 20
1 8 17 10 36 NO
2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes
|
1 6 1 -24 16 -4
-4 -8 28 -16
3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar
|
1 2 -7 4 0 SI
Coeficientes resultantes
(x3+2x2-7x+4) (x+4)
4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario
En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)
|
Volvemos a dividir:
1 2 -7 4 1
1 3 -4
1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso
1 3 -4 0 SI
(x2+3x-4) (x-1) (x+4)
(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)
= (x+4)2 (x-1)2
Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original. = x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16= (-4)4 + 6(-4) + (-4)2 - 24(-4) + 16
= 256-384+16+96+16
= 0 es lo que debe suceder
Ejemplo2. x3-3x-2
Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2 en su lugar ponemos cero
|
1 0 -3 -2 1
1 1 -2
1 1 -2 -4 NO
1 0 -3 -2 -1
-1 +1 +2
1 -1 -1 0 SI
(x2-x-2) (X-1) El trinomio es de la 2da. Forma
(x-2) (x+1) (x-1)
Comprobación:
= x3-3x-2
= (-1)3 – 3(-1) – 2
= -1 + 3 -2
= 0
Ejemplo3. x3 + 16x - 5 - 8x2
Ordenamos: x3- 8x2 + 16x - 5
Tomamos los coeficientes: 1 – 8 + 16 – 5
Consideramos los divisores de 5 que son: +1, -1, +5, -5
Probamos con +1 : 1 – 8 + 16 – 5 +1
1 -7 +9
1 -7 +9 +4 NO
Probamos con +5: 1 – 8 + 16 – 5 +1
+5 -15 +5
1 -3 +1 0 SI
Por consiguiente el polinomio es divisible por (x-5) y la factorización es:
x3- 8x2 + 16x - 5 = (x-5) (x2-3x+1)
Comprobación: si a = ±5 al reemplazar en el polinomio debe darnos cero.
= (+5)3 – 8(+5)2 + 16(+5) -5
= 125-200+80-5
= 0 es lo que debe darnos
EJERCICIOS: FACTORIZA APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI. 1) a3+6a2+12a+8 2) a4-13a2+36 3) a4-5a2+4 4) m3+m2-13m-28 5) x3-3x-2 6) m3-4m2+m+6 7) y3+12y+6y2+8 8) x3+2x2-6-5x 9) 1+12y+48y2+64y3
10) y3-4y2+6+y
colegiorioloa — 11-09-2008 GTM 1 @ 20:46
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2Desarrolla los binomios al cubo1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = 3(3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 = 4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 = 3Desarrolla las sumas por diferencias1(3x - 2) · (3x + 2) = 2(x + 5) · (x − 5) = 3(3x - 2) · (3x + 2) = 4(3x - 5) · (3x - 5) =
Ejemplo: (a+1)(a+2) SOLUCIÓN: (a+1)(a+2)= a2 +(1+2)a +1x 2
(a+1)(a+2)= a2 +3ª +2
Ejercicios 1) (x +2)(x+4)
- (x+5)(x-2)
- (m-6)(m-5)
- (x+2)(x-1)
- (xy2-9)(xy2 +12)
- (3x2y + )(3x2y - )
Cubo de un binomio
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
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Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b)Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
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P r o c e d i m i e n t o
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis
4. El tercer término será el producto de los términos independientes
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Ejemplo: (a+2)3 Solución: (a+3)3 = a3 +3a2(2) +3a(2)2 +23 = a3 +3a2(2) +3a(4) +8 \(a+3)3 = a3 +6a2 +12a + 8Ejercicios.
- (n-4)3
- (2x +1)3
- (1- 3y)3
- (2+y2)3
- (4n+3)3
- (2x+3y)3
- (3+2a2)3
- (2x+x2)3
colegiorioloa — 11-09-2008 GTM 1 @ 20:38
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colegiorioloa — 11-09-2008 GTM 1 @ 20:37
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